El Cuarteto Kodály se formó con estudiantes de la Academia de Música Ferenc Liszt en Budapest en 1966. Después del cambio de alguno de sus componentes, el cuarteto creó su propio estilo basado en la renombrada tradición húngara de cuartetos de cuerda. Durante los primeros años los profesores Frigyes Sándor, Vilmos Tátrai y AndrásMihály llevaron a cabo la dirección artística, y su asesoramiento musical fue esencial para el futuro del conjunto.
El cuarteto ha visitado casi todos los países europeos, los Estados Unidos y Asia.
Además del repertorio clásico en general, el cuarteto Kodály suele ofrecer regularmente obras de compositores húngaros: Kodály, Bartók, Dohnányi y otros, en sus programas.
El cuarteto ha grabado los cuartetos completos de Haydn, Debussy y Ravel así como los ciclos de los cuartetos de cuerda de Beethoven y Schubert con la casa discográfica Naxos.
En reconocimiento de sus logros artísticos, el cuarteto Kodály ha recibido el Premio "Ferenc Liszt" (1970), la Medalla al Mérito Artístico de la República de Hungría (1990) y el Premio "Bartók-Pásztory" (1996). También recibieron el Premio de la Revista Classic CD a la mejor grabación de música de cámara en 1993, por su interpretación de los cuartetos de cuerda de Haydn, Op. 64.